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答案
(1)解 由题设得＋＝1，＝， 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1. (2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN，得·＝0， 故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0， 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1. 所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)． 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)． 由·＝0， 得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0. 解得x1＝2(舍去)，x1＝. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|. 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
解析
(1)解 由题设得＋＝1，＝， 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1. (2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN，得·＝0， 故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0， 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1. 所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)． 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)． 由·＝0， 得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0. 解得x1＝2(舍去)，x1＝. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|. 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．