答案

解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(x)＝ex－， 所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－，2. 因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1， 从而f(x)≥1. 当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞)．

解析

解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(x)＝ex－， 所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－，2. 因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1， 从而f(x)≥1. 当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞)．