设实数 q 满足：存在数列 {a_n}，使得对于任意 n ∈ N*，均有 a1 + a2 + ⋯ + a3n = n² + n，且 {a_n} 中有某连续 9 项 a_k，a_(k+1)，⋯，a_(k+8) 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为______。
查看解析
解析
由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为.