2020 高考数学（新高考全国Ⅰ卷）第 12 题（多选题）

第 12 题多选题 5 分

信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi.( )

A 若n＝1，则H(X)＝0

B 若n＝2，则H(X)随着pi的增大而增大

C 若pi＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大

D 若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)

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答案

解析

对于A，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，故A正确；对于B，当n＝2时，有p1＋p2＝1，此时，若p1＝或都有H(X)＝－，故B错误；对于C，当pi＝(i＝1,2，…，n)时， H(X)＝－log2＝－n×log2＝log2n. 显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，方法一当n＝2m时， H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m) ＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]， H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，由于p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2(_p_1p1 ·_p_(2m)p2m)<log2[(p1＋p2m)p1·(p_(12m)+p)^(p2m)] ＝log2_((p+p))_(12m)p1+p2m ＝(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)，同理可证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1<(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)， …， pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1<(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)，所以H(X)>H(Y)．方法二 (特值法) 令m＝1，则n＝2，p1＝，p2＝. P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log21＝0， H(X)＝－>0， ∴H(X)>H(Y)．

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