第 17 题 解答题
在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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答案
解 方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
解析
解 方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在．