答案

见解析

解析

（1）f′(x)=−lnx，令f′(x)=0⇒x=1， 当0<x<1，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减. （2）(lna)/(a)_(−=−)(lnb)/(b)(1)/(b)(1)/(a)，∴(lna+1)/(a)_=(lnb+1)/(b)， 令(1)/(a)=m，(1)/(b)=n，即证2<m+n<e，∴m(1−lnm)=n(1−lnn)， 令f(x)=x(1−lnx)，f′(x)=−lnx，令f′(x)=0⇒x=1， 当0<x<1，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减. ∵f(m)=f(n)，∴0<m<1，1<n<e， 要证m+n>2，即证f(n)<f(2−m)，即证f(m)<f(2−m)， 令F(x)=f(x)−f(2−x)=x(1−lnx)−(2−x)[1−ln(2−x)]，x∈(0,1)， F′(x)=−lnx−ln(2−x)=ln(1)/(x(2−x))>0，F(x)单调递增，∴F(x)<F(1)=0，左边证毕！再证右边：∵m(1−lnm)=n(1−lnn)>m，要证m+n<e，即证n(1−lnn)+n<e， 令g(x)=x(1−lnx)+x，1<x<e，∴g′(x)=1−lnx−1+1=1−lnx>0， ∴g(x)在(1,e)上单调递增，∴g(x)<g(e)=e，∴g(n)<e，证毕！