第 21 题 解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知点F_1(-17,0)，F_2(17,0)，点M满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在直线x=(1)/(2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
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答案
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解析
（1）c=17，2a=2，a=1，b=4， C表示双曲线的右支，C的方程为x^2−(y2)/(16)=1(x≥1). （2）设T((1)/(2),m)，设直线AB的方程为：y=k1(x−(1)/(2))+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)， ∫^^(y=k1(x−+m2222)_(22)_(16x−y=6)(1)/(21))⇒16x−[k1(x−x+(1)/(4))+2k1m(x−(1)/(2))+m]=16， (16−k1^(22222))x+(k1−2k1m)x−(1)/(4)k1+k1m−m−16=0， ∴TA·TB=(1+k1)^(22)[(x1−(1)/(2))(x2−(1)/(2))]=(1+k1)[x1x2−(1)/(2)(x1+x2)+(1)/(4])=(1+k1^2)[(1)/(416)(k1m−14k12−m2−16)/(16−k12)−(1)/(2)(2k1m−k12)/(16−k12)+(1)/(4])=(1+k1^(22))(−m2−12)/(16−k12)=(1+k1)(m2+12)/(k12−16)， 设kPQ=k2，同理可得TP·TQ=(1+k2^2)(m2+12)/(k22−16)， ∴(1+k1^(222222))·(m2+12)/(k12−16)=(1+k2)·(m2+12)/(k22−16)⇒k2−16k1=k1−16k2，∴k_(12)^(22)=k， ∵k1≠k2，∴k1=−k2，k1+k2=0.