答案

（1）a=1

解析

（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论. （2）根据（1）可得当b>1时，e^x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数均为2，构建新函数h(x)=e^x+lnx−2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. 【小问1详解】 f(x)=e^x−ax的定义域为R，而f′(x)=ex−a， 若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0. g(x)=ax−lnx的定义域为(0,+∞)，而g^′(x)=a−(1)/(x)=(ax−1)/(x). 当x<lna时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,lna)上为减函数， 当x>lna时，f′(x)>0，故f(x)在(lna,+∞)上为增函数， 故f(x)min=f(lna)=a−alna. 当0<x<(1)/(a)时，g′(x)<0，故g(x)在0,(1)/(a)上为减函数， 当x>(1)/(a)时，g′(x)>0，故g(x)在(1)/(a),+∞上为增函数， 故g(x)min=g(1)/(a)=1−ln(1)/(a). 因为f(x)=e^x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值， 故1−ln(1)/(a)=a−alna，整理得到(a−1)/(1+a)=lna，其中a>0， 设g(a)=(a−1)/(1+a)−lna,a>0，则^(g′(a)=−=≤0)(2)/((1+a)2)(1)/(a)(−a2−1)/(a(1+a)2)， 故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而g(1)=0， 故g(a)=0的唯一解为a=1，故(1−a)/(1+a)=lna的解为a=1. 综上，a=1. 【小问2详解】 由（1）可得f(x)=e^x−x和g(x)=x−lnx的最小值为1−ln1=1−ln(1)/(1)=1. 当b>1时，考虑e^x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数. 设S(x)=e^x−x−b，S′(x)=ex−1， 当x<0时，S′(x)<0，当x>0时，S′(x)>0， 故S(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数， 所以S(x)(min)=S(0)=1−b<0， 而S(−b)=e^(−b)>0，S(b)=e^b−2b， 设u(b)=e^b−2b，其中b>1，则u′(b)=eb−2>0， 故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故u(b)>u(1)=e−2>0， 故S(b)>0，故S(x)=e^x−x−b有两个不同的零点，即e^x−x=b的解的个数为2. 设T(x)=x−lnx−b，T′(x)=(x−1)/(x)， 当0<x<1时，T′(x)<0，当x>1时，T′(x)>0， 故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数， 所以T(x)(min)=T(1)=1−b<0， 而T(e^(−b−b))=e>0，T(e^(bb))=e−2b>0， T(x)=x−lnx−b有两个不同的零点即x−lnx=b的解的个数为2. 当b=1，由（1）讨论可得x−lnx=b、e^x−x=b仅有一个解， 当b<1时，由（1）讨论可得x−lnx=b、e^x−x=b均无根， 故若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点， 则b>1. 设h(x)=e^x+lnx−2x，其中x>0，故h′(x)=e^x+(1)/(x)−2， 设s(x)=e^x−x−1，x>0，则s′(x)=ex−1>0， 故s(x)在(0,+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e^x>x+1， 所以h′(x)>x+(1)/(x)−1≥2−1>0，所以h(x)在(0,+∞)上为增函数， 而h(1)=e−2>0，h((1)/(e3))=e(1)/(e3)−3−(2)/(e3)<e−3−(2)/(e3)<0， 故h(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0，(1)/(e3)<x0<1且： 当0<x<x0时，h(x)<0即e^x−x<x−lnx即f(x)<g(x)， 当x>x0时，h(x)>0即e^x−x>x−lnx即f(x)>g(x)， 因此若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点， 故b=f(x0)=g(x0)>1， 此时e^x−x=b有两个不同的根x1,x0(x1<0<x0)， 此时x−lnx=b有两个不同的根x0,x4(0<x0<1<x4)， 故e^(x1)−x1=b，e^(x0)−x0=b，x4−lnx4−b=0，x0−lnx0−b=0 所以x4−b=lnx4即_(e=x)x4−b_4即e^(x4−b)−(x4−b)−b=0， 故x4−b为方程e^x−x=b的解，同理x0−b也为方程e^x−x=b的解 又e^(x1)−x1=b可化为e^(x1)=x1+b即x1−ln(x1+b)=0即(x1+b)−ln(x1+b)−b=0， 故x1+b为方程x−lnx=b的解，同理x0+b也为方程x−lnx=b的解， 所以{x1,x0}={x0−b,x4−b}，而b>1， 故_∫_(x1=x0−b)x0=x4−b即x1+x4=2x0.