答案

（1）−1；

解析

（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，再根据kAP+kAQ=0，即可解出l的斜率； （2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tanÐPAQ=22即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积． 【小问1详解】 因为点A(2,1)在双曲线C:(x2)/(a2)−(y2)/(a2−1)=1(a>1)上，所以(4)/(a2)−(1)/(a2−1)=1，解得a^2=2，即双曲线C:(x2)/(2)−y^2=1 易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)， 联立__(∫2)_(−y=1)_(yx2=)/(2)kx+m可得，(1−2k^(222))x−4mkx−2m−2=0， 所以，x1+x2=−(4mk)/(2k2−1),x1x2=(2m2+2)/(2k2−1)，℘=16m^(222222)k−4(2m+2)(2k−1)>0⇒m−1+2k>0且k贡(2)/(2)． 所以由kAP+kAQ=0可得，(y2−1)/(x2−2)_(+=0)(y1−1)/(x1−2)， 即(x1−2)(kx2+m−1)+(x2−2)(kx1+m−1)=0， 即2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0， 所以2k×(2m2+2)/(2k2−1)+(m−1−2k)−(4mk)/(2k2−1)−4(m−1)=0， 化简得，8k^2+4k−4+4m(k+1)=0，即(k+1)(2k−1+m)=0， 所以k=−1或m=1−2k， 当m=1−2k时，直线l:y=kx+m=k(x−2)+1过点A(2,1)，与题意不符，舍去， 故k=−1． 【小问2详解】 不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,βα<(π)/(2)<β，因为kAP+kAQ=0，所以α+β=ð， 由（1）知，x1x2=2m^2+2>0， 当P,Q均在双曲线左支时，ÐPAQ=2α，所以tan2a=22， 即2tan^2a+tana-2=0，解得tana=(2)/(2)（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当P,Q均在双曲线右支时， 因为tanÐPAQ=22，所以ταν(β−α)=22，即tan2a=-22， 即2tan^2a-tana-2=0，解得tana=2（负值舍去）， 于是，直线PA:y=2(x−2)+1，直线AQ:y=−2(x−2)+1， 联立__∫_(−y=1)_(yx2=)/(2)2_2(x−2)+1可得，(3)/(2)x^2+2(2−4)x+10−42=0， 因为方程有一个根为2，所以_(xP=)(10−42)/(3)，yP=(42-5)/(3)， 同理可得，_(xQ=)(10+42)/(3)，yQ=(-42-5)/(3)． 所以PQ:x+y−(5)/(3)=0，PQ=(16)/(3)， 点A到直线PQ的距离_(d==)(2+1−53)/(2)(−)/(2)(5)/(3)(22)/(3)， 故△PAQ的面积为(1)/(2)_(创=)(16)/(3)(22)/(3)(162)/(9)．