答案

（1）y=x^2+(1)/(4)

解析

（1）设P(x,y)，根据题意列出方程x^(22)+y−(1)/(2)^2=y，化简即可； （2）法一：设矩形的三个顶点A^(222)a,a+(1)/(4),Bb,b+(1)/(4),Cc,c+(1)/(4)，且a<b<c，分别令kAB=a+b=m<0，kBC=b+c=n>0，且mn=−1，利用放缩法得(1)/(2)C≥^(2)n+(1)/(n)1+n，设函数f(x)=^(2)x+(1)/(x)^2(1+x)，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可. 法二：设直线AB的方程为y=k(x−a)+a^2+(1)/(4)，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得AB+AD≥((1+k2)3)/(k2)，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可. 法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 设P(x,y),则y=x^(2)+y−(1)/(2)^2，两边同平方化简得y=x^2+(1)/(4)， 故W:y=x^2+(1)/(4). 【小问2详解】 法一：设矩形的三个顶点A^(222)a,a+(1)/(4),Bb,b+(1)/(4),Cc,c+(1)/(4)在W上,且a<b<c，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则kAB·kBC=−1,a+b<b+c,令kAB=(1)/(4b)(b2+14−{a2+14÷)/(b−a)(1)/(4)=a+b=m<0， 同理令kBC=b+c=n>0，且mn=−1，则m=−(1)/(n)， 设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，kBC−kAB=c−a=n−m=n+(1)/(n)， 则(1)/(2)C=|AB|+|BC|=(b−a)1+m^(2222)+(c−b)1+n≥(c−a)1+n=n+(1)/(n)1+n.n>0，易知^(2)n+(1)/(n)1+n>0 则令f(x)=^(2′)x+(1)/(x)^(22)(1+x),x>0,f(x)=2x+(1)/(x)2x−(1)/(x), 令f′(x)=0，解得x=(2)/(2)， 当x∈0,(2)/(2)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 当x∈(2)/(2),+∞，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 则f(x)min=f(2)/(2)=(27)/(4)， 故(1)/(2)_(C≥=)(27)/(4)(33)/(2),即C≥33. 当C=33时,n=(2)/(2),m=−2,且(b-a)1+m^(22)=(b-a)1+n，即m=n时等号成立，矛盾，故C>33, 得证. 法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA， 依题意可设A^(2)a,a+(1)/(4)，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0， 则设BA,DA的斜率分别为k和_−(1)/(k)，由对称性，不妨设k≤1， 直线AB的方程为y=k(x−a)+a^2+(1)/(4)， 则联立^(2)^∫y^(y=x+)=k(x−(1)/(4a))+a2+(1)/(4)得x^(22)−kx+ka−a=0， Δ=k^(222)−4(ka−a)=(k−2a)>0，则k≠2a 则|AB|=1+k^2|k-2a|， 同理|AD|=1+(1)/(k2)(1)/(k)+2a， ∴|AB|+|AD|=1+k^2|k−2a|+1+(1)/(k2)(1)/(k)+2a ≥1+k^(22)k−2a+(1)/(k)+2a≥1+kk+(1)/(k)=((1+k2)3)/(k2) 令k^2=m，则m∈(0,1]，设f(m)=((m+1)3)/(m)=m^2+3m+(1)/(m)+3， 则_(f(m)=2m+3−=)′(1)/(m2)((2m−1)(m+1)2)/(m2)，令f′(m)=0，解得m=(1)/(2)， 当m∈0,(1)/(2)时，f′(m)<0，此时f(m)单调递减， 当m∈(1)/(2),+∞，f′(m)>0，此时f(m)单调递增， 则f(m)min=f(1)/(2)=(27)/(4)， ∴|AB|+|AD|≥(33)/(2)， 但1+k^(22)|k−2a|+1+(1)/(k2)(1)/(k)+2a≥1+k|k−2a|+(1)/(k)+2a，此处取等条件为k=1，与最终取等时k=(2)/(2)不一致，故AB+AD>(33)/(2). 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动(1)/(4)个单位得抛物线W^(′2):y=x, 矩形ABCD变换为矩形A′B′C′D′,则问题等价于矩形A′B′C′D′的周长大于33. 设 B^(′2′2′2)(t0,t0),A(t1,t1),C(t2,t2), 根据对称性不妨设 t0≥0. 则 k_(AB10BC20)′′=t+t,k′′=t+t, 由于 A′B′⊥B′C′, 则 (t1+t0)(t2+t0)=−1. 由于 A^(′′2′′2)B=1+(t1+t0)t1−t0,BC=1+(t2+t0)t2−t0, 且 t0 介于 t1,t2 之间, 则 A^(′′′′22)B+BC=1+(t1+t0)t1−t0+1+(t2+t0)t2−t0. 令 t2+t0=tanθ, t1+t0=−cotθ,θ∈0,(ð)/(2),则t2=tanθ−t0,t1=−cotθ−t0,从而 故_(AB+BC=2t0−++=+)′′′′(1)/(sinθ)(1)/(cosθ)(sinθ)/(cos2θ)(cosθ)/(sin2θ)(2t0(cosθ−sinθ))/(sinθcosθ)(sin3θ+cos3θ)/(sin2θcos2θ) ①当θ∈^(≈)_({)0,(ð)/(4)_°时, ^(AB+BC≥=+≥2=2≥22)^(′′′′)(sin3θ+cos3θ)/(sin2θcos2θ)(sinθ)/(cos2θ)(cosθ)/(sin2θ)(1)/(sinθcosθ)(2)/(sin2θ) ②当 θ∈(ð)/(4),(ð)/(2) 时,由于t1<t0<t2,从而−cotθ−t0<t0<tanθ−t0, 从而_(−<t0<)(cotθ)/(2)(tanθ)/(2)又t0≥0, 故0≤t0<(tanθ)/(2),由此_(AB+BC=+)′′′′(2t0(cosθ−sinθ))/(sinθcosθ)(sin3θ+cos3θ)/(sin2θcos2θ) _(>+=+)(sinθ(cosθ−sinθ)(sinθcosθ))/(sin2θcos3θ)(sin3θ+cos3θ)/(sin2θcos2θ)(1)/(cosθ)(cosθ)/(sin2θ) ^(==)(2)/(sin2θsin2θ·2cos2θ)(2)/((1−cos2θ)(1−cos2θ)·2cos2θ) ^(≥≥=)((1−cos2q)+(1−2cos2q)+2cos2q)/(3)(2)/((1−cos2q)+(1−3cos2q)+2cos2q3)(22)/(3)(2)/({23÷3)(33)/(2)， 当且仅当cosq=(3)/(3)时等号成立，故A^(ⅱⅱ)B+BC>(33)/(2)，故矩形周长大于33.