答案

（1）−2

解析

（1）求出f′(x)_(min)=2+a后根据f′(x)≥0可求a的最小值； （2）设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点，可证P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2−m,2a−n)也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断f(1)=−2即a=−2，再根据f(x)>−2在(1,2)上恒成立可求得b≥−(2)/(3). 【小问1详解】 b=0时，f(x)=λν(x)/(2−x)+ax，其中x∈(0,2)， 则f′(x)=(1)/(x)+(1)/(2−x)=(2)/(x(2−x))+a,x∈(0,2)， 因为x(2−x)≤(2−x+x)/(2)^2=1，当且仅当x=1时等号成立， 故f′(x)_(min)=2+a，而f′(x)≥0成立，故a+2≥0即a≥−2， 所以a的最小值为−2.， 【小问2详解】 f(x)=ln(x)/(2−x)+ax+b(x−1)^3的定义域为(0,2)， 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点， P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2−m,2a−n)， 因为P(m,n)在y=f(x)图象上，故n=ln(m)/(2−m)+am+b(m−1)^3， 而f(2−m)=ln(2−m)/(m)+a(2−m)+b(2−m−1)^(3∫3≈)=−)ln(m)/(2−m)+am+b(m−1)+2a， =−n+2a， 所以Q(2−m,2a−n)也在y=f(x)图象上， 由P的任意性可得y=f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1,a). 【小问3详解】 因为f(x)>−2当且仅当1<x<2，故x=1为f(x)=−2的一个解， 所以f(1)=−2即a=−2， 先考虑1<x<2时，f(x)>−2恒成立. 此时f(x)>−2即为ln(x)/(2−x)+2(1−x)+b(x−1)^3>0在(1,2)上恒成立， 设t=x−1∈(0,1)，则ln(t+1)/(1−t)−2t+bt^3>0在(0,1)上恒成立， 设g(t)=ln(t+1)/(1−t)−2t+bt^3,t∈(0,1)， 则_(g′(t)=−2+3bt=)(2)/(1−t2)_2(t2(−3bt2+2+3b))/(1−t2)， 当b≥0，−3bt^2+2+3b≥−3b+2+3b=2>0， 故g′(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数， 故g(t)>g(0)=0即f(x)>−2在(1,2)上恒成立. 当−(2)/(3)≤b<0时，−3bt^2+2+3b≥2+3b≥0， 故g′(t)≥0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数， 故g(t)>g(0)=0即f(x)>−2在(1,2)上恒成立. 当b<−(2)/(3)，则当0<t<1+(2)/(3b)<1时，g′(t)<0 故在0,1+(2)/(3b)上g(t)为减函数，故g(t)<g(0)=0，不合题意，舍； 综上，f(x)>−2在(1,2)上恒成立时b≥−(2)/(3). 而当b≥−(2)/(3)时， 而b≥−(2)/(3)时，由上述过程可得g(t)在(0,1)递增，故g(t)>0的解为(0,1)， 即f(x)>−2的解为(1,2). 综上，b≥−(2)/(3).