答案

（1）证明见解析

解析

（1）先证出AD⊥平面PAB，即可得AD⊥AB，由勾股定理逆定理可得BC⊥AB，从而 AD//BC，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，根据三垂线法可知，ÐDFE即为二面角A−CP−D的平面角，即可求得tanÐDFE=6，再分别用AD的长度表示出DE,EF，即可解方程求出AD． 【小问1详解】 （1）因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB,PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC^(222)+AB=AC，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD//BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC． 【小问2详解】 如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD=AC， 所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF， 根据二面角的定义可知，ÐDFE即为二面角A−CP−D的平面角， 即sinÐDFE=(42)/(7)，即tanÐDFE=6． 因为AD⊥DC，设AD=x，则CD=4-x^2，由等面积法可得，_(DE=)(x4−x2)/(2)， 又CE=(4−x^2)−(x2(4−x2))/(4)=(4−x2)/(2)，而△EFC为等腰直角三角形，所以_(EF=)(4−x2)/(22)(x2)/(2)， 故tanÐDFE=(x4−x2)/(4−2x2)(44−2−x2x)/(22)(x42−x2)/(42−x22)(x2)/(2)=6，解得x=3，即AD=3．