答案

（1）(x^2)/(9)+y^2=1

解析

（1）根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设R(x_0,y_0),根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,A(0,−b),B(a,0)，所以{√(a^2+b^2)=√10e=(c)/(a)=(2√2)/(3)c^2=a^2−b^2，解得a^2=9,b^2=1,c^2=8， 故椭圆的标准方程为(x^2)/(9)+y^2=1； 【小问2详解】 (ⅰ)设R(x_0,y_0)，易知m≠0， 法一：所以k_AP=(n+1)/(m)，故(y_0+1)/(x_0)=(n+1)/(m)，且mx_0>0． 因为A(0,−1)，|AR||AP|=3，所以√(x_0^2+(y_0+1)^2)×√(m^2+(n+1)^2)=3， 即[1+((n+1)/(m))^2]x_0m=3，解得x_0=(3m)/(m^2+(n+1)^2)，所以y_0=(n+2−m^2−n^2)/(m^2+(n+1)^2)， 所以点R的坐标为((3m)/(m^2+(n+1)^2),(n+2−m^2−n^2)/(m^2+(n+1)^2)). 法二：设AR⃗=λAP⃗,λ>0，则|AR||AP|=3⇒λ[m^2+(n+1)^2]=3，所以 λ=(3)/(m^2+(n+1)^2)，AR⃗=λAP⃗=λ(m,n+1)=((3m)/(m^2+(n+1)^2),(3(n+1))/(m^2+(n+1)^2))，故 点R的坐标为((3m)/(m^2+(n+1)^2),(n+2−m^2−n^2)/(m^2+(n+1)^2)). (ⅱ)因为k_OR=((n+2−m^2−n^2)/(m^2+(n+1)^2))/((3m)/(m^2+(n+1)^2))=(n+2−m^2−n^2)/(3m),k_OP=(n)/(m),由k_OR=3k_OP,可得 (3n)/(m)=(n+2−m^2−n^2)/(3m),化简得m^(22)+n+8n−2=0,即m^2+(n+4)^2=18(m≠0), 所以点P在以N(0,−4)为圆心,3√2为半径的圆上（除去两个点）, |PM|_max为M到圆心N的距离加上半径, 法一：设M(3cos(θ),sin(θ)),所以 MN^(22222)=(3cosθ)+(sinθ+4)=9cosθ+sinθ+8sinθ+16 =8(cos^2)θ+1+8sin(θ)+16 =8(1−sin^2θ)+8sinθ+17 =−8sin^2θ+8sinθ+25 =−8(sin(θ)−(1)/(2))^2+27≤27,当且仅当sin(θ)=(1)/(2)时取等号, 所以|PM|√27√2(√3+√2)_max. 法二：设M(x_M,y_m)，则(x_M^2)/(9)+y_M^2=1， |MN|^2=x_M^2+(y_M+4)^2=9−9y_M^2+y_M^2+8y_M+16=−8y_M^2+8y_M+25 =−8(y_M−(1)/(2))^2+27≤27，当且仅当y_M=(1)/(2)时取等号, 故|PM|√27√2(√3+√2)_max.