答案

（1）证明见解析；

解析

（1）通过证明AP⊥AB，AP⊥AD，得出AB⊥平面PAD，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy中，得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，即可证明结论； 法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O_1，求出PO_1，求出出外心O_1到P，B，C，D的距离相等，得出外心O_1即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C_1，连接AC_1，PC_1，利用勾股定理求出AC_1的长，进而得出PC_1的长，在△POC_1中由余弦定理求出cos(∠)POC_1，即可求出直线AC与直线PO所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意证明如下， 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AP⊥AB，AP⊥AD， ∵AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A， ∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 【小问2详解】 （i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥P−ABCD中，AP⊥AB，AP⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD， PA=AB=√2，AD=1+√3， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴A(0,0,0),B(√2,0,0),C(√2,2,0),D(0,1+√3,0),P(0,0,√2)， 若P，B，C，D在同一个球面上， 则|OP|=|OB|=|OC|=|OD|， 在平面xAy中， ∴A(0,0),B(√2,0),C(√2,2),D(0,1+√3)， ∴线段CD中点坐标F((√2)/(2),(√3+3)/(2))， 直线CD的斜率：k_1=(1+√3−2)/(0−√2)=−(√3−1)/(√2)， 直线CD的垂直平分线EF斜率：k_2=(√2)/(√3−1)=(√6+√2)/(2)， ∴直线CD的方程：y−(√3+3)/(2)=(√6+√2)/(2)(x−(√2)/(2))， 即y=(√6+√2)/(2)(x−(√2)/(2))+(√3+3)/(2)， 当y=1时，1=(√6+√2)/(2)(x_O−(√2)/(2))+(√3+3)/(2)，解得：x_O=0， ∴O(0,1) 在立体几何中，O(0,1,0)， ∵{|OP|=√(0^2+1^2+(0−√2)^2)|OB|=√((0−√2)^2+1^2+0^2)|OC|=√((0−√2)^2+(1−2)^2+0^2)|OD|=√(0^2+(1−1−√3)^2+0^2) 解得：|OP|=|OB|=|OC|=|OD|=√3， ∴点O在平面ABCD上. 法二： ∵P，B，C，D在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， O_1E=AB=√2，BE=CE=AO_1=GO_1=(1)/(2)BC=1，O_1D=AD−AO_1=√3 BO_1=CO_1=√(1^2+(√2)^2)=√3， ∴O_1D=BO_1=CO_1， ∴点O_1是△BCD的外心， 在Rt△AOP中，AP⊥AD，AP=√2， 由勾股定理得， PO_1=√(AP^2+AO_1^2)=√((√2)^2+1^2)=√3 ∴PO_1=BO_1=CO_1=O_1D=√3， ∴点O_1即为点P，B，C，D所在球的球心O， 此时点O在线段AD上，AD⊂平面ABCD， ∴点O在平面ABCD上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， AC⃗=(√2,2,0),PO⃗=(0,1,−√2)， 设直线AC与直线PO所成角为θ， ∴cos(θ)=(|AC⃗⋅PO⃗|)/(|AC⃗||PO⃗|)=(|0+2×1+0|)/(√((√2)^2+2^2+0)×√(0+1^2+(−√2)^2))=(√2)/(3). 法2： 由几何知识得，PO=√3， AB⊥AD，BC∥AD， ∴AB⊥BC， 在Rt△ABC中，AB=√2，BC=2，由勾股定理得， AC=√(AB^2+BC^2)=√((√2)^2+2^2)=√6， 过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C_1，连接AC_1，PC_1， 则OC_1=AC=√6，直线AC与直线PO所成角即为△POC_1中∠POC_1或其补角. ∵PA⊥平面ABCD，AC_1⊂平面ABCD，PA∩AC_1=A， ∴PA⊥AC1， 在Rt△ABC_1中，AB=√2，BC_1=BC+CC_1=2+1=3，由勾股定理得， AC_1=√(AB^2+BC_1^2)=√((√2)^2+3^2)=√11， 在Rt△APC1中，PA=√2，由勾股定理得， PC_1=√(PA^2+AC_1^2)=√((√2)^2+(√11)^2)=√13， 在△POC_1中，由余弦定理得， PC_1^2=PO^2+OC_1^2−2PO⋅OC_1cos(∠)POC_1， 即：(√13)^2=(√3)^2+(√6)^2−2√3×√6cos(∠)POC_1 解得：cos(∠)POC_1=−(√2)/(3) ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为：|cos(∠)POC_1|=(√2)/(3).