第 17 题 解答题
设整数 N ≥ 2。某同学用一个球进行投篮练习，至多投掷 N 次，当且仅当投中 1 次时或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p（0 < p < 1），各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。
小问
（1）当 N = 4，p = 1/3 时，求 X 的分布列；
（2）设 k、m 均为自然数，当 k ≤ N - 1 时，求 P(X > k)；
（3）当 k + m ≤ N - 1 时，证明：P(X > k + m | X > k) = P(X > m)。
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答案
（1）的分布列如下图所示：
解析
（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 【小问2详解】 （i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略.