第 19 题 解答题
已知函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x < 0 时，f(x) = 2^x。对任意 x0 ∈ R，定义集合 D(x0) = {d ∈ R | f(x0 + d) > f(x0)}。
小问
（1）若当 x ≥ 0 时，f(x) = 1 - x，求 D(-1)；
（2）若 f(x) 是奇函数，f(x1) ≤ f(x2)，且 x1x2 ≠ 0，证明：D(x2) ⊆ D(x1)；
（3）设 f(x) 满足：①若 f(x1) ≤ f(x2)，则 D(x2) ⊆ D(x1)；②当 0 < x < 1 时，f(x) < f(0)。证明：f(0) ≥ 1；
（4）设 f(x) 满足：①若 f(x1) ≤ f(x2)，则 D(x2) ⊆ D(x1)；②当 0 < x < 1 时，f(x) < f(0)。证明：f(x) 在区间 (0, +∞) 单调递增。
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答案
（1）
解析
（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【小问1详解】 由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）略