第 16 题 填空题
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm^2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm^2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么^(∏k)k^n=1^(S=) dm^2. _(720−)(240n+720)/(2n)
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答案
5
解析
（1）易知有20dm×(3)/(4)dm，10dm×(3)/(2)dm，5dm×3dm，(5)/(2)dm×6dm，(5)/(4)dm×12dm，共5种规格. （2）由题可知对折k次共有k+1种规格，且面积为(240)/(2k)，故_(Sk=)(240(k+1))/(2k)，则∏_(k=1k=1)^(nn)Sk=240∏(k+1)/(2k)，记Tn=∏_(k=1)^n(k+1)/(2k)，则(1)/(2)Tn=∏_(k=1)^n(k+1)/(2k+1)，故 (1)/(2)Tn=∏_(k=1k=1k=1k=1)^(nnn−1n)(k+1)/(2k)−∏(k+1)/(2k+1)=1+(∏(k+2)/(2k+1)−∏(k+2)/(2k+1))−(n+1)/(2n+1) =1+(1)/(4)(14(1−21n−1))/(1−12)(211n)/(2)(1)/(21n−1))−(n+1)/(2n+1)=(3)/(2)−(n+3)/(2n+1)，则Tn=3−(n+3)/(2n)，故 ∏_(k=1)^nSk=240(3−(n+3)/(2n))=720−(240n+720)/(2n).