答案

见解析

解析

（1）平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∵AB=AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD. （2）方法一：取OD中点F，∵ΔOCD为正三角形，∴CF⊥OD，过O作OM//CF与BC交于M点，则OM⊥OD，∴OM，OD，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(0,−1,0)，C((3)/(2),(1)/(2),0)，D(0,1,0)，设A(0,0,t)，则E(0,(1)/(3),(2)/(3)t)，OA⊥平面BCD，∴平面BCE的法向量为n^r=(x,y,z)，_(∫)_(n·BE=0)n·BC=0，∴^__∫_(42)/(3)(3)/(42y)_(+=0)x+(2)/(3)(3)/(2tz)y=0，不妨设x=3，则y=−1，z=(2)/(t)，则n^r=(3,−1,(2)/(t))，二面角E−BC−D的大小为45°，∴(2)/(2)=(nr·OA)/(nrOA)=(2)/(t4+t42)(2)/(4+t42)(4)/(t2)，∴t=1， SΔOCD=(1)/(2)×1×1×(3)/(2)=(3)/(4)，∴SΔBCD=(3)/(2)，∴VA−BCD=(1)/(3)SΔBCD·OA=(1)/(3)×(3)/(2)×1=(3)/(6). 方法二：过E作EH⊥BD交BD于点H，再过H作HI⊥BC交BC于点I，显然这样会有EH⊥平面BCD，而这个正三角形OCD加上BO=DO，可知BC⊥CD，意味着HI//CD，同时很自然的也会有EH⊥HI，而二面角E−BC−D很显然就是ÐEIH，这个是45°，说明EH=HI， 综合上面的条件，会得到(OH)/(DH)_(==)(AE)/(ED)(1)/(2)，然后(BH)/(DH)_(=2)，再然后(2)/(3)_(==)(BH)/(BD)(HI)/(CD)，故HI=EH=(2)/(3)，同时(EH)/(AO)_(==)(ED)/(AD)(2)/(3)，得到AO=1，那么就有VA−BCD=(1)/(3)AO·SΔBCD=(1)/(3)×1×(1)/(2)×1×3=(3)/(6).