答案

13

解析

利用离心率得到椭圆的方程为(x2)/(4c2)+(y2)/(3c2)=1，即3x^(222)+4y−12c=0，根据离心率得到直线AF2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x=3y-c，代入椭圆方程3x^(222)+4y−12c=0，整理化简得到：13y^(22)-63cy-9c=0，利用弦长公式求得_(c=)(13)/(8)，得a=2c=(13)/(4)，根据对称性将△ADE的周长转化为△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13. ∵椭圆的离心率为e=(c)/(a)=(1)/(2)，∴a=2c，∴b^(2222)=a−c=3c，∴椭圆的方程为(x2)/(4c2)+(y2)/(3c2)=1，即3x^(222)+4y−12c=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵AF2=a，OF2=c，a=2c，∴ÐAF2O=(π)/(3)，∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为(3)/(3)，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3y-c，代入椭圆方程3x^(222)+4y−12c=0，整理化简得到：13y^(22)-63cy-9c=0， 判别式Δ=(63c)^2+4×13×9c^(222)=6×16×c， ∴DE=1+(3)^2y1−y2=2×(℘)/(13)=2×6×4×(c)/(13)=6， ∴ _(c=)(13)/(8)， 得a=2c=(13)/(4)， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13. 故答案为：13.