答案

（1）_(an=)(n(n+1))/(2)

解析

（1）利用等差数列的通项公式求得(Sn)/(an)=1+(1)/(3)(n−1)=(n+2)/(3)，得到_(Sn=)((n+2)an)/(3)，利用和与项的关系得到当n≥2时，_(an=Sn−Sn−1=−)((n+2)an)/(3)((n+1)an−1)/(3),进而得：(an)/(an−1)^=(n+1)/(n−1)，利用累乘法求得_(an=)(n(n+1))/(2)，检验对于n=1也成立，得到{an}的通项公式_(an=)(n(n+1))/(2)； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到(1)/(a1)^(++ℒ+=21−)(1)/(a2)(1)/(an){(1)/(n+1)÷，进而证得. 【小问1详解】 ∵a1=1，∴S1=a1=1,∴(S1)/(a1)_(=1), 又∵_(∫√)_(ⁿ)(Sn)/(an)·是公差为(1)/(3)的等差数列， ∴(Sn)/(an)=1+(1)/(3)(n−1)=(n+2)/(3),∴_(Sn=)((n+2)an)/(3), ∴当n≥2时，_(Sn−1=)((n+1)an−1)/(3)， ∴_(an=Sn−Sn−1=−)((n+2)an)/(3)((n+1)an−1)/(3), 整理得：(n−1)an=(n+1)an−1, 即(an)/(an−1)^=(n+1)/(n−1), ∴^(an=a1×××…××)(a2)/(a1)(a3)/(a2)(an−1)/(an−2)(an)/(an−1) _(=1×××…××=)(3)/(1)(4)/(2)(n)/(n−2)(n+1)/(n−1)(n(n+1))/(2)， 显然对于n=1也成立， ∴{an}的通项公式_(an=)(n(n+1))/(2)； 【小问2详解】 (1)/(an)^(==2−,)(2)/(n(n+1)){(1)/(n)(1)/(n+1)÷ ∴(1)/(a1)^(++ℒ+)(1)/(a2)(1)/(an)=2}^(∫≈)1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+ℒ(1)/(n)−(1)/(n+1)°=21−(1)/(n+1)<2