答案

（1）2

解析

（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABB1A1，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h， 则^(V=S·h=h=V=S·AA=V=)A−A1BC(1)/(3)△A1BC(22)/(3)A1−ABC(1)/(3)△ABC1(1)/(3)ABC−A1B1C1(4)/(3)， 解得h=2， 所以点A到平面A1BC的距离为2； 【小问2详解】 取A1B的中点E,连接AE,如图，因为AA1=AB，所以AE⊥A1B, 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B， 且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC， 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC， 又AE,BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC,BA,BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，A_1B=22，所以BC=2， 则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A1C的中点D(1,1,1)， 则BD=(1,1,1)，BA=(0,2,0),BC=(2,0,0), 设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z)，则_(∫vv)_(m·BA=2y=0)m^(vv)·BD=x+y+z=0， 可取m=(1,0,−1)， 设平面BDC的一个法向量n^r=(a,b,c)，则_(∫vv)_(m·BC=2a=0)m^(vv)·BD=a+b+c=0， 可取n^r=(0,1,−1)， 则cosm,n=(m·nr)/(m·nr)=(1)/(2×2)=(1)/(2)， 所以二面角A−BD−C的正弦值为1−(1)/(2)^2=(3)/(2).