答案

(35)/(5)## (3)/(5)_5

解析

方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF2,BF2,BF1,AF1关于a,m的表达式，从而利用勾股定理求得a=m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0=(5)/(3)c,y0=−(2)/(3)t，t^(22)=4c，将点A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解； 方法一： 依题意，设AF2=2m，则BF2=3m=BF1,AF1=2a+2m， 在Rt△ABF1中，9m^(222)+(2a+2m)=25m，则(a+3m)(a−m)=0，故a=m或a=−3m（舍去）， 所以AF1=4a,AF2=2a，BF2=BF1=3a，则AB=5a， 故cosÐF1AF2=(AF1)/(AB)=(4a)/(5a)=(4)/(5)， 所以在△AF1F2中，cosÐF1AF2=(16a2+4a2−4c2)/(2×4a×2a)=(4)/(5)，整理得5c^(22)=9a， 故_(e==)(c)/(a)(35)/(5). 方法二: 依题意，得F1(−c,0),F2(c,0)，令A(x0,y0),B(0,t)， 因为u_(F2A=−F2B)(2)/(3)，所以(x0−c,y0)=−(2)/(3)(−c,t)，则x0=(5)/(3)c,y0=−(2)/(3)t， 又u_(F1A⊥F1B)，所以F1A·F1B=(8)/(3)c,−(2)/(3)t(c,t)=(8)/(3)c^(22)−(2)/(3)t=0，则t^(22)=4c， 又点A在C上，则(25)/(9a2)(295c2)/(a2)_(−=1)(4)/(9b)(94t2)/(b2)，整理得(25c2)/(9a2)_(−=1)(4t2)/(9b2)，则(25c2)/(9a2)_(−=1)(16c2)/(9b2)， 所以25c^(222222)b−16ca=9ab，即25c^(22222222)(c−a)−16ac=9a(c−a)， 整理得25c^(424)−50c+9a=0，则(5c^(2222)−9a)(5c−a)=0，解得5c^(22)=9a或5c^(22)=a， 又e>1，所以_(e=)(35)/(5)或e=(5)/(5)（舍去），故_(e=)(35)/(5). 故答案为：(35)/(5).