答案

B

解析

方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k^2+8k+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 方法一：因为x^(22)+y−4x−1=0，即(x−2)^(22)+y=5，可得圆心C(2,0)，半径r=5， 过点P(0,−2)作圆C的切线，切点为A,B， 因为PC=2^(22)+(-2)=22，则PA=PC^(22)−r=3， 可得sinÐAPC=(5)/(22)=(10)/(4),cosÐAPC=(3)/(22)=(6)/(4)， 则sinÐAPB=sin2ÐAPC=2sinÐAPCcosÐAPC=2×(10)/(4)×(6)/(4)=(15)/(4)， cosÐAPB=cos2ÐAPC=cos^(22)ÐAPC−sinÐAPC=(6)/(4)^(22)−(10)/(4)=−(1)/(4)<0， 即ÐAPB为钝角， 所以sinα=sin(ð-ÐAPB)=sinÐAPB=(15)/(4)； 法二：圆x^(22)+y−4x−1=0的圆心C(2,0)，半径r=5， 过点P(0,−2)作圆C的切线，切点为A,B，连接AB， 可得PC=2^(22)+(-2)=22，则PA=PB=PC^(22)-r=3， 因为PA^(2222)+PB−2PA·PBcosÐAPB=CA+CB−2CA·CBcosÐACB 且ÐACB=ð−ÐAPB，则3+3−6cosÐAPB=5+5−10cos(ð−ÐAPB)， 即3−cosÐAPB=5+5cosÐAPB，解得cosÐAPB=−(1)/(4)<0， 即ÐAPB为钝角，则cosα=cos(ð−ÐAPB)=−cosÐAPB=(1)/(4)， 且α为锐角，所以sinα=1−cos^2α=(15)/(4)； 方法三：圆x^(22)+y−4x−1=0的圆心C(2,0)，半径r=5， 若切线斜率不存在，则切线方程为y=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2=0， 则(2k−2)/(k2+1)(k−2)/(k2+1)_(=5)，整理得k^2+8k+1=0，且Δ=64−4=60>0 设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+k2=−8,k1k2=1， 可得k1-k2=(k1+k2)^2-4k1k2=215， 所以tanα=(k1−k2)/(1+k1k2)=15，即(sina)/(cosa)_(=15)，可得cosα=(sinα)/(15)(α)/(5)， 则sin^(222)α+cosα=sinα+(sin2α)/(15)=1， 且α∈0,(ð)/(2)，则sinα>0，解得sina=(15)/(4). 故选：B.