答案

C

解析

利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 方法1，甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn=na1+(n(n−1))/(2)d,(Sn)/(n)=a1+(n−1)/(2)d=(d)/(2)n+a1−(d)/(2),(Sn+1)/(n+1)−(Sn)/(n)=(d)/(2)， 因此_{(Sn)/(n})为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：_{(Sn)/(n})为等差数列，即(Sn+1)/(n+1)_(−==)(Sn)/(n)(nSn+1−(n+1)Sn)/(n(n+1))(nan+1−Sn)/(n(n+1))为常数，设为t， 即(nan+1−Sn)/(n(n+1))_(=t)，则Sn=nan+1−t·n(n+1)，有Sn−1=(n−1)an−t·n(n−1),n≥2， 两式相减得：an=nan+1−(n−1)an−2tn，即an+1−an=2t，对n=1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1，公差为d，即Sn=na1+(n(n−1))/(2)d， 则(Sn)/(n)=a1+((n−1))/(2)d=(d)/(2)n+a1−(d)/(2)，因此_{(Sn)/(n})为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：_{(Sn)/(n})为等差数列，即(Sn+1)/(n+1)−(Sn)/(n)=D,(Sn)/(n)=S1+(n−1)D， 即Sn=nS1+n(n−1)D，Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D， 当n≥2时，上两式相减得：Sn−Sn−1=S1+2(n−1)D，当n=1时，上式成立， 于是an=a1+2(n−1)D，又an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D]=2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C