答案

（1）证明见解析；

解析

（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解. 【小问1详解】 以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)， ∴B2C2=(0,−2,1),A2D2=(0,−2,1)， _(∴B2C2∥A2D2)， 又B2C2，A2D2不在同一条直线上， ∴B2C2∥A2D2. 【小问2详解】 设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)， 则A2C2=(−2,−2,2),PC2=(0,−2,3−λ),D2C2=(−2,0,1)， 设平面PA2C2的法向量n^r=(x,y,z)， 则^(n·AC=−2x−2y+2z=0)^(∫)n·P^(22)C2=−2y+(3−λ)z=0， 令 z=2，得y=3−λ,x=λ−1， ∴n^r=(λ−1,3−λ,2)， 设平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c)， 则_(∫)_(m·D2C2=−2a+c=0)m·A(22)C=−2a−2b+2c=0， 令 a=1，得b=1,c=2， ∴m=(1,1,2)， ∴cosn,m=(nr·m)/(nrm)=(6)/(64+(λ−1)2+(3−λ)2)(6)/(4+(λ−1)2+(3−λ)2)=cos150°=(3)/(2)， 化简可得，λ^2−4λ+3=0， 解得λ=1或λ=3， ∴P(0,2,1)或P(0,2,3)， ∴B2P=1.