答案

（1）答案见解析

解析

（1）先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为a^2−(1)/(2)−lna>0的恒成立问题，构造函数g(a)=a^2−(1)/(2)−lna(a>0)，利用导数证得g(a)>0即可. 方法二：构造函数h(x)=e^x−x−1，证得e^x≥x+1，从而得到f(x)≥x+lna+1+a^2−x，进而将问题转化为a^2−(1)/(2)−lna>0的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为f(x)=a(e^x+a)−x，定义域为R，所以f′(x)=aex−1， 当a≤0时，由于e^x>0，则ae^x≤0，故f′(x)=aex−1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减； 当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna， 当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减； 当x>−lna时，f′)x>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增； 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，f(x)(min)=f(−lna)=a(e^(−lna2)+a)+lna=1+a+lna， 要证f(x)>2lna+(3)/(2)，即证1+a^2+lna>2lna+(3)/(2)，即证a^2−(1)/(2)−lna>0恒成立， 令g(a)=a^2−(1)/(2)−lna(a>0)，则g′(a)=2a−(1)/(a)=(2a2−1)/(a)， 令g′(a)<0，则0<a<(2)/(2)；令g′(a)>0，则a>(2)/(2)； 所以g(a)在^__0,(2)/(2)上单调递减，在^__(2)/(2),+∞上单调递增， 所以g(a)(min)=g(2)/(2)=(2)/(2)^2-(1)/(2)-ln(2)/(2)=ln2>0，则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2lna+(3)/(2)恒成立，证毕. 方法二： 令h(x)=e^x−x−1，则h′(x)=ex−1， 由于y=e^x在R上单调递增，所以h′(x)=ex−1在R上单调递增， 又h′(0)=e0−1=0， 所以当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0； 所以h(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)=0，则e^x≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立， 因为f(x)=a(e^(xx2x+lna22)+a)−x=ae+a−x=e+a−x≥x+lna+1+a−x， 当且仅当x+lna=0，即x=−lna时，等号成立， 所以要证f(x)>2lna+(3)/(2)，即证x+lna+1+a^2−x>2lna+(3)/(2)，即证a^2−(1)/(2)−lna>0， 令g(a)=a^2−(1)/(2)−lna(a>0)，则g′(a)=2a−(1)/(a)=(2a2−1)/(a)， 令g′(a)<0，则0<a<(2)/(2)；令g′(a)>0，则a>(2)/(2)； 所以g(a)在^__0,(2)/(2)上单调递减，在^__(2)/(2),+∞上单调递增， 所以g(a)(min)=g(2)/(2)=(2)/(2)^2-(1)/(2)-ln(2)/(2)=ln2>0，则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2lna+(3)/(2)恒成立，证毕.