答案

ABC

解析

对cos(2)A+cos(2)B+2sin(C)=2由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较A+B和(π)/(2)的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出C=(π)/(2)，然后利用cos(A)cos(B)sin(C)=(1)/(4)算出A,B取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. cos(2)A+cos(2)B+2sin(C)=2，由二倍角公式，1−2sin^2(A)+1−2sin^2(B)+2sin(C)=2， 整理可得，sinC=sin^(22)A+sinB，A选项正确； 由诱导公式，sin(()A+B)=sin((π−C))=sin(C)， 展开可得sin(A)cos(B)+sin(B)cos(A)=sin^2(A)+sin^2(B)， 即sin(A)(sin(A)−cos(B))+sin(B)(sin(B)−cos(A))=0， 若A+B=(π)/(2)，则sin(A)=cos(B),sin(B)=cos(A)可知等式成立； 若A+B<(π)/(2)，即A<(π)/(2)−B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<cosB，同理sin(B)<cos(A)， 又sin(A)>0,sin(B)>0，于是sin(A)(sin(A)−cos(B))+sin(B)(sin(B)−cos(A))<0， 与条件不符，则A+B<(π)/(2)不成立； 若A+B>(π)/(2)，类似可推导出sin(A)(sin(A)−cos(B))+sin(B)(sin(B)−cos(A))>0，则则A+B>(π)/(2)不成立. 综上讨论可知，A+B=(π)/(2)，即C=(π)/(2). 方法二：sinC=sin^(22)A+sinB时，由C∈(0,π)，则sin(C)∈(0,1]， 于是1×sin(C)=sin^2(A)+sin^2(B)≥sin^2(C)， 由正弦定理，a^(222)+b≥c， 由余弦定理可知，cos(C)≥0，则C∈(0,(π)/(2)]， 若C∈(0,(π)/(2))，则A+B>(π)/(2)，注意到cos(A)cos(B)sin(C)=(1)/(4)，则cos(A)cos(B)>0， 于是cos(A)>0,cos(B)>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A,B∈(0,(π)/(2))， 结合A+B>(π)/(2)⇔A>(π)/(2)−B，而A,(π)/(2)−B都是锐角，则sin(A)>sin(((π)/(2)−B))=cos(B)>0， 于是sin(C)=sin^2(A)+sin^2(B)>cos^2(B)+sin^2(B)=1，这和sin(C)≤1相矛盾， 故C∈(0,(π)/(2))不成立，则C=(π)/(2) 由cos(A)cos(B)sin(C)=(1)/(4)=cos(A)cos(B)，由A+B=(π)/(2)，则cos(B)=sin(A)，即sinAcosA=(1)/(4)， 则sin(2)A=(1)/(2)，同理sin(2)B=(1)/(2)，注意到A,B是锐角，则2A,2B∈(0,π)， 不妨设A<B，则2A=(π)/(6),2B=(5π)/(6)，即A=(π)/(12),B=(5π)/(12)， 由两角和差的正弦公式可知sin((π)/(12))+sin((5π)/(12))=(√6−√2)/(4)+(√6+√2)/(4)=(√6)/(2)，C选项正确 由两角和的正切公式可得，tan((5π)/(12))=2+√3， 设BC=t,AC=(2+√3)t，则AB=(√2+√6)t， 由S_{△ABC}=(1)/(2)(2+√3)t^2=(1)/(4)，则t^2=(4−2√3)/(4)=((√3−1)/(2))^2，则t=(√3−1)/(2)， 于是AB=(√6+√2)t=√2，B选项正确，由勾股定理可知，AC^2+BC^2=2，D选项错误. 故选：ABC