答案

（1）证明见解析；

解析

（1）根据题目所给条件(a_{n+1})/(n)=(a_n)/(n+1)+(1)/(n(n+1))化简，即可证明结论； （2）先求出{a_n}的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x，作差并利用等比数列前n项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，n∈N^{∗}， 在数列{a_n}中，a1=3，(a_{n+1})/(n)=(a_n)/(n+1)+(1)/(n(n+1))， ∴(n+1)a_{n+1}=na_n+1，即(n+1)a_{n+1}−na_n=1， ∴{na_n}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，n∈N^{∗}， 在数列{na_n}中，首项为3，公差为1， ∴na_n=3+1×(n−1)，即a_n=1+(2)/(n)， 在f(x)=a_1x+a_2x^2+⋯+a_mx^m中， f(x)=3x+2x^2+⋯+(1+(2)/(m))x^m，f^{'}(x)=3+4x+⋯+(m+2)x^{m−1} ∴{f^{'}(x)=3+4x+⋯+(m+2)x^{m−1}xf^{'}(x)=3x+4x^2+⋯+(m+2)x^m， 当x≠1且x≠0时， ∴(1−x)f^{'}(x)=3+x+x^2+⋯+x^{m−1}−(m+2)x^m=3+(x(1−x)^{m−1})/(1−x)−(m+2)x^m， ∴f^{'}(x)=(3)/(1−x)+(x(1−x^{m−1}))/((1−x)^2)−((m+2)x^m)/(1−x) ∴f^{'}(−2)=(3)/(1−(−2))+(−2[1−(−2)^{m−1}])/([1−(−2)]^2)−((m+2)(−2)^m)/(1−(−2)) =1+((−2)[1−(−2)^{m−1}])/(9)−((m+2)(−2)^m)/(3) =1−(2)/(9)−((−2)^m)/(9)−((m+2)(−2)^m)/(3) =(7)/(9)−((3m+7)(−2)^m)/(9).